Es una secuencia infinita de números naturales cuyos dos primeros términos son 1 y 1 y tal que, cualquier otro término se obtiene sumando los dos inmediatamente anteriores. Por tanto, se cumple la relación de recurrencia siguiente:
r_1=1, r_2=1, r_n=r_{n-1}+r_{n-2} \quad (n>2)
De manera explícita, tendríamos que es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
La descubrió, en el siglo XIII, el matemático italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Su aprendizaje se produjo gracias a los viajes que hacía junto a su padre, que era comerciante. El curioso origen de la sucesión está en la observación que hizo el mencionado matemático de cómo se propagan las parejas de conejos a partir de una pareja de cachorros. Posteriormente, se ha comprobado que numerosos fenómenos de la naturaleza están relacionados con esta sucesión. Aparece en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos y en la disposición de las hojas de algunas plantas. Asimismo, se aplica también a cuestiones relacionadas con computación y teoría de juegos.
Su propiedad más importante es que si consideramos la sucesión de cocientes de un término entre el término anterior, nos acercamos cada vez más al número áureo, esto es, a \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} . Esta idea viene reflejada en la fórmula siguiente:
lím_{n\rightarrow \infty} \frac{r_n}{r_{n-1}}=\Phi
Las margaritas y la sucesión de Fibonacci
Las margaritas no poseen siempre la misma cantidad de pétalos, pero su número es siempre un término de la sucesión de Fibonacci. Por ejemplo: 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc. En la fotografía pueden verse dos casos.
En Botánica, se llama filotaxia a la disposición de las hojas, flores u otras estructuras vegetales repetitivas de forma regular, alrededor de un eje o centro, a menudo dispuestas según uno o varios sistemas de espirales o hélices. Las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor de un tallo de las plantas se produce siguiente secuencias basadas exclusivamente en estos números. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales, otros dos términos que son, además, consecutivos de esta sucesión.
Experimenta la sucesión de Fibonacci
Con lo aprendido, ahora puedes ponerte a prueba con las siguientes actividades.
Actividad 1 (Primaria y todos los públicos)
Como se puede ver en este Jardín de lɸs Matemáticɸs, la sucesión de Fibonacci tiene como sus ocho primeros términos a
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
¿Sabrías decir cuál es el noveno y el décimo? ¿Y el decimoquinto?
Actividad 2 (Público general)
El número áureo \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,61803 está muy relacionado con la belleza. Una prueba está en este precioso Jardín. También, desde la época griega, se relaciona con las proporciones bellas de las personas. Así, si planteamos el cociente siguiente:
r=\frac{Altura \ de \ una \ persona}{Distancia \ del \ ombligo \ a\ los \ pies}Entonces, cuanto más próximo esté r a \phi más proporcionado será el cuerpo en el sentido griego. ¡Pruebe con su cuerpo!
Además, entendamos la relación que hay con nuestro lenguaje coloquial. Se recoge en la RAE las palabras paticorto o culibajo y patilargo. Se dice paticorto a que tiene las patas o las piernas más cortas de lo común y el sinónimo culibajo a Dicho de una persona: Que tiene, con respecto a las proporciones habituales, el trasero más bajo de lo normal. Por otro lado patilargo a Que tiene las patas o las piernas más largas de lo común. Si una persona es paticorto, ¿qué será más grande r o \phi ? ¿Y si es patilargo? Como veis, las Matemáticas también ayudan a explicar el significado de algunas palabras. ¿Sois vos paticorto, patilargo o de proporciones perfectas?
Actividad 3 (Secundaria y Bachillerato)
Como sabes la sucesión de Fibonacci cumple la relación de recurrencia a tres términos
r_n=r_{n-1}+r_{n-2}, \quad n\ge 3 ,
con condiciones iniciales r_1=r_2=1 . Entonces podemos construir la sucesión
\phi_n= \frac{r_{n+1}}{r_n}, \quad n\ge 1
Con ayuda de una calculadora o de un programa de ordenador calcula los primeros 20 términos de la sucesión \phi_n y represéntalos en una gráfica. ¿Qué puedes decir del crecimiento o decrecimiento de la sucesión \phi_n ? Podrás observar que su límite es el el número áureo. Observar no es Demostrar, para eso es necesario saber más matemáticas, lo que siempre es bueno.
La sucesión de Fibonacci tiene interesantes propiedades, una de ellas es:
r_n^2=r_{n-1}r_{n+1}-(-1)^n, \quad n\ge 2
Compruébala para los diez primeros números naturales. Comprobar tampoco es Demostrar, por ello de nuevo hay que seguir aprendiendo mates.
Actividad 4 (Universitarios y población con conocimientos matemáticos más avanzados)
Como sabes la sucesión de Fibonacci cumple la relación de recurrencia a tres términos
r_n=r_{n-1}+r_{n-2}, \quad n\ge 3,
con condiciones iniciales r_1=r_2=1 . Entonces podemos construir la sucesión
\phi_n= \frac{r_{n+1}}{r_n}, \quad n\ge 1
Usa tus conocimientos matemáticos sobre ecuaciones en diferencias para probar que el límite de la sucesión \phi_n es el número áureo. Como seguro que ya estás motivado o motivada prueba la siguiente relación:
r_n^2=r_{n-1}r_{n+1}-(-1)^n, \quad n\ge 2
¡Hay más relaciones! Esto es sólo un aperitivo…